3.2 Properties of Determinant

이번 포스트에서는 determinant에 관한 여러 정리와 성질에 대해서 알아보겠습니다.

1) Triangular matrix and row operation

(1) Determinant of triangular matrix

Triangular matrix의 경우 determinant가 간단하게 구해집니다.

Theorem

If $A$ is a triangular matrix, then $detA$ is the product of the entries on the main diagonal of $A$

이전 포스트에서, co-factor expansion을 통해 determinant를 계산하는 경우, 0가 많은 column이나 row를 선택하면 determinant 계산이 편리하다는 것을 알 수 있었습니다. 같은 맥락으로, triangular matrix의 경우, diagonal entry를 제외하고 모든 값이 0인 column(upper triangular matrix) 또는 row(lower triangular matrix)가 존재하기 때문에, 이 column과 row를 기준으로 co-factor expansion을 적용하면 결과는 diagonal entry의 곱으로 나온다는 것을 알 수 있습니다.

• sketch of the proof

$A$가 upper triangular matrix라고 가정해봅시다.

\[A = \begin{bmatrix}a_{11} & * & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & * & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &a_{nn}\end{bmatrix}\]

$A$의 determinant를 cofactor expansion을 통해 구하기 위해서, 첫 번째 column을 기준으로 co-factor expansion을 적용하면

\[detA = a_{11}C_{11} = a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{33} & * & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &a_{nn}\end{vmatrix}\]

가 됩니다. $A$에서 첫 번째 column과 row를 제거한 새로운 matrix 역시 triangular matrix입니다. 새로운 matrix의 determinant 역시 첫 번째 column을 이용하여 구하면

\[detA=a_{11}C_{11}=a_{11}(-1)^{1+1}a_{22}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{33} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{44} & * & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &a_{nn}\end{vmatrix}\]

가 됩니다. 새로운 matrix 역시 triangular matrix이므로, 위의 방식과 같은 방법으로 적용을 해주면

\[detA = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

인 것을 알 수 있습니다.

정리하면, triangular matrix의 경우 determinant는 diagonal entries의 곱입니다.

(2) Effect of elementary row operation

Row operation과 determinant와도 특별한 관계가 있습니다.

• Theorem

Let $A$ be $n \times n$ matrix

1. If a multiple of one row of $A$ is added to another row to produce a matrix $B$ (replacement), then $detA=detB$
2. If two rows of $A$ are interchanged to produce $B$ (interchange), then $detB=-detA$
3. If one row of $A$ is multiplied by $k$ to produce $B$ (scaling), then $detB = kdetA$

If $E$ is $n \times n $ elementary matrix, then

\[det(E) = \begin{cases} 1 \ \ \ (replacement) \\ -1 \ \ \ (interchange) \\ k \ \ \ (scaling)\end{cases}\]

즉 row operation을 진행한 matrix와 기존의 matrix의 determinant가 operation 종류에 따라 변화합니다. replacement의 경우 determinant가 그대로 유지되고, interchange의 경우 부호 변화가, scaling의 경우 scaling할 때 곱해준 상수배만큼 determinant에 변화가 생깁니다.

이전 포스트에서, row operation과 같은 역할을 하는 matrix인 elementary matrix가 존재함을 알고 있다면, elementary matrix의 determinant 또한 위의 정리를 적용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

(3) Unifying (1) and (2)

(1) 정리와 (2) 정리를 종합하면, determinant를 구할 수 있는 또다른 방법을 알 수 있습니다.

임의의 $n \times n$ matrix $A$에 대해서 row operation을 통해 triangular matrix $B$를 만든 다음, $B$의 determinant와 row operation에서 발생한 determinant 변화를 곱해서 $A$의 determinant를 구할 수 있습니다.

example

\[A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \\ -2 & 8 & -9 \\ -1 & 7 & 0 \end{bmatrix}\]

$A$의 determinant를 구해보겠습니다.

$A$를 row operation을 통해 triangular matrix로 만들어줍니다.

\[A =\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \\ -2 & 8 & -9 \\ -1 & 7 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \\ -1 & 7 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} = B\]

$A$를 $B$ matrix로 만들어줄 때 사용한 row operation은 replacement(1, 2 번째 연산)와 interchange(세 번째 연산)입니다.

따라서 \(detA = -detB\)

인 것을 알 수 있습니다.

$B$는 triangular matrix이므로,

\[detB = 1 \times 3 \times -5 = -15\]

이고,

\[detA=15\]

가 됩니다.

2) Theorems of Determinant and Invertible matrix

• Theorem

A square matrix $A$ is invertible if and only if $detA\neq0$

Determinant를 통해 어떤 matrix가 invertible matrix인지 아닌지 바로 확인할 수 있습니다.

• Theorem

If $A$ has two identical rows of columns, then $detA=0$

동일한 column이나 row를 가지고 있는 경우, determinant는 0입니다.

• Theorem

1. $det(kA)=kdetA$
2. $det(AB)=detAdetB$
3. $detA = detA^T$
4. If $A$ is invertible, then $detA^{-1} = \frac{1}{detA}$

각 정리와 성질에 대한 증명은 appendix를 참고하시길 바랍니다.

3) Invertible Matrix Theorem

chapter 2에서 배웠던 invertible matrix theorem에 determinant를 이용하여 새롭게 추가된 명제가 있습니다.

Let $A$ be a square $n \times n$ matrix. Then the following statements are equivalent. That is, for given $A$, the statements are either all true or all false

a. $A$ is an invertible matrix

b. $A$ is row equivalent to the $n \times n $ identity matrix

c. $A$ has $n$ pivot positions

d. The equation $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ has only the trivial solution

e. The columns of $A$ form a linearly independent set

f. The columns of $A$ span $\mathbb{R}^n$

g. There is an $n \times n $ matrix $C$ such taht $CA=I$

h. There is an $n \times n$ matrix $D$ such that $AD=I$

i. The equation $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ has at least one solution for each $\boldsymbol{b}$ in $\mathbb{R}^n$

j. $A^T$ is an invertible matrix

**k. $detA\neq 0$ **

지금까지 determinant에 대한 여러 성질과 정리에 대해 알아보았습니다. 다음 포스트에서는 determinant를 활용한 Cramer’s rule에 대해 알아보겠습니다. 질문이나 오류 있으면 댓글로 남겨주세요! 감사합니다!

Appendix: Proof of the theorem

2) Theorems of Determinant and Invertible matrix

Theorem

A square matrix $A$ is invertible if and only if $detA\neq0$

• Proof

$\Rightarrow$

$A$가 invertible하므로, $A$는 $I$, identity matrix와 row equivalent합니다. 즉,

\[A \sim I\]

를 만족합니다. $A$에서 $I$로 만드는 row operation을 진행 할 때, determinant는 0이 아닌 실수배의 변화만 존재합니다. 즉,

\(detA = c \ detI\) 여기서 $c$는 상수입니다. 그리고, $detI=1$이므로,

\[detA \neq 0\]

이 됩니다.

$\Leftarrow$

$detA\neq0$ 이므로, $A$의 reduced echelon form이 $I$인 것을 알 수 있습니다. 만약 $A$의 reduced echelon form이 $I$가 아니라면, reduced echelon form의 determinant는 0이 되기 때문에, $detA=0$이 됩니다.

결국 $A$와 $I$는 row equivalent하므로, $A$는 invertible matrix입니다.

Theorem

If $A$ has two identical rows or columns, then $detA=0$

• Proof

$A$가 identical한 두 개의 row나 column을 가지고 있다면, $A$는 $n$개의 pivot position을 가질 수 없게 되므로, $A$는 invertible하지 않습니다. 따라서 $detA=0$을 만족합니다.

Theorem

1. $det(kA)=kdetA$
2. $det(AB)=detAdetB$
3. $detA = detA^T$
4. If $A$ is invertible, then $detA^{-1} = \frac{1}{detA}$

• Proof

proof of 1.

$kA$는 $A$ matrix의 모든 row에 $k$배 scaling을 한 matrix로 생각을 하면

\(det(kA) = k^ndetA\) 임을 알 수 있습니다.

proof of 2.

만약 $A$ 또는 $B$가 invertible하지 않다면, $AB$ 또한 invertible하지 않습니다. 따라서

\[detAB=detAdetB=0\]

을 만족합니다.

만약 $A$, $B$ 모두 invertible하면, 두 matrix 각각 elementary matrix의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

$A$를

\[A = E_kE_{k-1}\cdots E_1\]

이라고 하면, $AB$는 $B$에 elementary matrix를 곱한 matrix, 즉, $B$에 특정한 row operation을 취한 matrix로 생각할 수 있습니다. 따라서

\[detAB = det(E_{k}E_{k-1}\cdots E_1B)= det(E_k)det(E_{k-1})\cdots det (E_1)detB = detAdetB\]

임을 알 수 있습니다.

proof of 3.

$detA$를 구할 때 co-factor expansion을 이용하여 구할 수 있습니다. co-factor expansion을 이용하여 구할 때, 특정한 row나 column을 선택하여 determinant를 구합니다. 그런데, $A^T$는 $A$의 column과 row의 위치만 바꾸는 연산이므로, co-factor expansion에 영향을 끼치지 않습니다.

(예를 들어, $detA$를 구할 때 특정한 column을 선택하여 co-factor expansion을 적용했다면, $detA^T$를 구할 때는 $detA$를 구할 때 선택한 column에 해당하는 row를 선택하여 co-factor expansion을 적용하면 됩니다.)

proof of 4.

$AA^{-1}=A^{-1}A=I$이므로

\[det(AA^{-1})=detAdetA^{-1}=detI=1\]

따라서

\[detA^{-1} = \frac{1}{detA}\]

가 됩니다.